Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3: by Lothar Papula

By Lothar Papula

Das erfolgreiche Werk des Autors für das Grundstudium wird durch einen Band ergänzt zu spezielleren mathematischen Themen, die überwiegend im Hauptstudium behandelt werden. In der bewährten Methodik und Didaktik wird weniger Wert auf mathematische Strenge gelegt als vielmehr auf anschauliche und anwendungsnahe Beispiele. So werden die Themen Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Fehler- und Ausgleichsrechnung in der Darstellung hauptsächlich am Bedarf der Anwender in Naturwissenschaften und Technik ausgerichtet. Zahlreiche Übungsaufgaben helfen den schwierigen Stoff zu vertiefen. Mit Verbesserungen von Bildern wurden Beispiele noch verständlicher und optimiert.

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1). z Richtung des Magnetfeldes Bild I-24 Schraubenlinie, dargestellt durch einen parameterabha¨ngigen Ortsvektor r (t ) R x y 26 I Vektoranalysis Fu¨r die Berechnung der Kurvenkru¨mmung nach Gleichung (I-48) beno¨tigen wir die r__. Die Kettenregel liefert: r_ und ~ Ableitungen ~ ~ r_ ¼ À R w Á sin ðw tÞ ~ e x þ R w Á cos ðw tÞ ~ e y þ c~ ez ~ r__ ¼ À R w 2 Á cos ðw tÞ ~ e x À R w 2 Á sin ðw tÞ ~ e y þ 0~ ez Hieraus lassen sich die in Formel (I-48) beno¨tigten Gro¨ßen j ~ r_  ~ r__ j und j ~ r_ j wie folgt bestimmen: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ r_ j ¼ R 2 w 2 Á sin 2 ðw tÞ þ R 2 w 2 Á cos 2 ðw tÞ þ c 2 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R 2 w 2 ½ sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ Š þ c 2 ¼ R 2 w 2 þ c 2 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1 0 1 0 1 À R w Á sin ðw tÞ À R w 2 Á cos ðw tÞ B C B C ~ r_  ~ r__ ¼ @ R w Á cos ðw tÞ A  @ À R w 2 Á sin ðw tÞ A ¼ c 0 ¼ 0 1 0 1 À R w Á sin ðw tÞ À cos ðw tÞ B C B C ¼ R w 2 @ R w Á cos ðw tÞ A  @ À sin ðw tÞ A ¼ c 0 0 1 0 þ c Á sin ðw tÞ B C ¼ R w 2 @ À c Á cos ðw tÞ À 0 A ¼ R w Á sin 2 ðw tÞ þ R w Á cos 2 ðw tÞ 0 1 0 c Á sin ðw tÞ c C 2B 2B ¼ Rw @ À c Á cos ðw tÞ A ¼ Rw @Àc 2 2 R w ½ sin ðw tÞ þ cos ðw tÞ Š |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ r_  ~ r__ j ¼ R w 2 Á c 2 Á sin 2 ðw tÞ þ c 2 Á cos 2 ðw tÞ þ R 2 w 2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c 2 ½ sin 2 ðw tÞ þ cos 2 ðw tÞ Š þ R 2 w 2 ¼ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ R w2 Á c2 þ R2 w2 ¼ R w2 Á R2 w2 þ c2 ¼ R w2 Á 1 Á sin ðw tÞ C Á cos ðw tÞ A Rw ¼ 1 Ebene und ra¨umliche Kurven 27 Nach Formel (I-48) erhalten wir damit die folgende Kurvenkru¨mmung: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ r__ j r_  ~ R w2 Á R2 w2 þ c2 R w2 ¼ ¼ ¼ j ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 3 j~ ð R2 w2 þ c2 Þ3 ð R2 w2 þ c2 Þ2 r_ j ¼ R2 R w2 ¼ const: w2 þ c2 Die Schraubenlinie besitzt somit in jedem Punkt die gleiche Kru¨mmung.

In diesem wichtigen Sonderfall ist der Ortsvektor ~ r der Kurve eine Vektorfunktion der Bogenla¨nge s, die von einem bestimmten Kurvenpunkt P1 aus gemessen wird: ~ r ¼~ r ðsÞ (Bild I-17). Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem natu¨rlichen Parameter und nennt die Parameterdarstellung ~ r ðsÞ eine natu¨rliche Darstellung der Kurve. 5 Kru¨mmung einer Kurve Wir gehen in diesem Abschnitt zuna¨chst von der sog. natu¨rlichen Darstellung einer Kurve aus, d. h. wir verwenden die Bogenla¨nge s als Kurvenparameter.

D T~ ~ ~ d T~ d T~ ~ d T~ dT~ ~ ~ ÁT þT Á ¼ T Á þT Á ¼ 2 T Á ¼ 0 dt dt dt dt dt ðI-35Þ ðI-36Þ und somit (nach Division durch 2) dT~ ~_ ¼ 0 T~ Á ¼ T~ Á T dt ðI-37Þ 18 I Vektoranalysis Dies aber bedeutet, dass der Vektor d T~ ~_ ¼ T senkrecht auf dem Tangenteneinheitsvektor dt T~ steht (Bild I-13). Der normierte Vektor ~_ ~_ ~ ¼ T  ¼  1  T N  ~_   ~_  T T ~ j ¼ 1Þ ðjN ðI-38Þ heißt Hauptnormaleneinheitsvektor und zeigt stets in Richtung der Kurvenkru¨mmung (Bild I-14). P T dT =T dt T P Kurve Bild I-13 ~_ stehen senkrecht Die Vektoren T~ und T aufeinander N Kurve Bild I-14 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor einer Kurve Wir fassen zusammen: Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor einer Kurve Wir ordnen jedem Punkt P einer (ebenen oder ra¨umlichen) Kurve mit dem Ortsvektor ~ r ¼~ r ðtÞ wie folgt zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren zu (siehe hierzu Bild I-14): Tangenteneinheitsvektor ~ 1 r_ ~ T~ ¼ ¼ r_ j~ _r j j~r_ j ðj T~j ¼ 1Þ ðI-39Þ T~ liegt in der Kurventangente und zeigt in die Richtung, in die sich der Kurvenpunkt P mit wachsendem Parameterwert t bewegen wu¨rde.

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