Mathématiques et Technologie by Christiane Rousseau, Yvan Saint-Aubin (auth.)

By Christiane Rousseau, Yvan Saint-Aubin (auth.)

Les auteurs dévoilent les élégants innovations mathématiques cachés derrière des purposes technologiques et les replacent dans un contexte historique. Les sujets traités comprennent : l. a. cryptographie � clé publique, les codes correcteurs d'erreurs, le système de positionnement international (GPS) et los angeles cartographie, l. a. compression d'images � l'aide de fractals et � l'aide du structure JPEG, los angeles numérisation de los angeles musique, les robots, l'ordinateur � l'ADN, l'algorithme PageRank de Google, l'épargne et l'emprunt, los angeles chirurgie aux rayons gamma, les générateurs de nombres aléatoires. Un des leitmotivs du texte est que l. a. modélisation mathématique, l. a. puissance des outils mathématiques et l'abstraction jouent un rôle an important dans l'innovation technologique. Les divers sujets sont présentés avec clarté, et les préalables mathématiques sont relativement élémentaires. Chaque chapitre comporte de nombreux exercices, certains élémentaires pour renforcer l. a. compréhension, d'autres plus avancés pour explorer de nouvelles problématiques.

Ce livre s'adresse aux étudiants en mathématiques pures et appliquées, en body, en informatique, ainsi qu'aux futurs maîtres du secondaire. Les préalables sont l'algèbre linéaire, los angeles géométrie euclidienne et, pour quelques chapitres, les probabilités élémentaires ou le calcul � plusieurs variables. Une mise en contexte historique enrichit le texte. Les sections plus difficiles sont clairement indiquées afin que le livre soit obtainable � toute personne curieuse maîtrisant les préalables.

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Alors : T (xn b) = T (xr xn−r b) = T ((qr−1 xr−1 + · · · + q1 x + q0 )xn−r b) = qr−1 T (xn−1 b) + · · · + q1 T (xn−r+1 b) + q0 T (xn−r b) = qr−1 an−1 + · · · + q1 an−r+1 + q0 an−r = an . 35) Donc, la multiplication par x correspond exactement `a l’action du registre `a d´ecalage. r On voit que la suite est p´eriodique de p´eriode 2r − 1 puisque x2 −1 = 1. On peut se demander quelle est la p´eriode minimale de cette suite. A priori, ce pourrait ˆetre un diviseur de 2r − 1 (voir exercice 11). En fait, nous allons montrer que, si P est primitif, la p´eriode minimale est exactement 2r − 1.

En effet, une carte doit nous servir `a nous diriger. On pourrait vouloir qu’elle pr´eserve les distances r´eelles pour que, si l’on choisit sur la carte le plus court chemin entre deux points, ce chemin soit effectivement le plus court. Pour une carte terrestre, ce genre de contrainte a un peu moins d’importance, car on est soumis a` la contrainte de demeurer sur une route si l’on se prom`ene en v´ehicule motoris´e. Si l’on se prom`ene `a pied, les distortions sont suffisamment petites pour ˆetre n´eglig´ees.

27) o` u di ≡ bi + ci (mod 2). 28) sur F2 . On identifie chaque r-tuple (b0 , . . , br−1 ) `a un polynˆ ome de degr´e r − 1 : br−1 xr−1 + · · · + b1 x + b0 . 29) Pour multiplier les deux r-tuples, on multiplie les polynˆ omes associ´es. Le produit est a priori un polynˆome de degr´e 2(r − 1). 30) (se rappeler que −pi = pi dans F2 ), que l’on it`ere. On identifie le polynˆ ome x au r-tuple (0, 1, 0, . . , 0). Le th´eor`eme suivant est classique en th´eorie des corps finis. Nous ne donnerons que quelques ´el´ements de preuve, sans faire de rappels alg´ebriques pr´ealables.

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